☝ Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire - Remarque

On cherche à satisfaire le cas d'égalité \(\left\vert z+z' \right\vert=\left\vert z \right\vert+\left\vert z' \right\vert\) .

D'après la démonstration précédente, le cas d'égalité a lieu lorsque \(\text R\text e(z\overline{z'})=\left\vert z\overline{z'} \right\vert\) .

Selon la démonstration du lemme, cette égalité est vraie si, et seulement si, le complexe \(Z=z\overline{z'}\) vérifie les deux conditions : \(\text I\text m(Z)=0\) et  \(\text R\text e(Z) \geqslant 0\) , autrement dit : \(Z=z\overline{z'} \in \mathbb{R}_+\) .

Si `z'=0` , alors le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire a lieu.

Soit \(\lambda \in \mathbb{R}_+\) . Si \(z' \neq 0\) , alors :
\(\begin{align*} z\overline{z'}=\lambda & \ \ \Longleftrightarrow \ \ zz'\overline{z'}=\lambda z' \ \ \Longleftrightarrow \ \ z\left\vert z' \right\vert^2=\lambda z' \ \ \Longleftrightarrow \ \ z=\frac{\lambda}{\left\vert z' \right\vert^2}z' \ \ \Longleftrightarrow \ \ z=\mu z' \end{align*}\)
avec \(\mu=\frac{\lambda}{\left\vert z' \right\vert^2} \in \mathbb{R}_+\) .

Finalement :
\(\left\vert z+z' \right\vert=\left\vert z \right\vert+\left\vert z' \right\vert \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left( z'=0 \text{ ou il existe } \mu \in \mathbb{R}_+ \text{ tel que } z=\mu z' \right)\) .